RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM Equação de Fokker

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

A equação de Fokker–Planck, denominada assim por Adriaan Fokker^[1] e Max Planck,^[2] e também conhecida como equação avançada de Kolmogórov (por Andréi Kolmogórov, quem primeiro a introduziu em um artigo de 1931 ^[3]), descreve a evolução temporal da função de densidade de probabilidade que mostra a posição e a velocidade de uma partícula, ainda que possa ser generalizada a outro tipo de variáveis.^[4] A equação é aplicável a sistemas que possam ser descritos por um pequeno número de "macrovariáveis", onde outros parâmetros variam tão rapidamente com o tempo que podem ser tratados como "ruído" ou uma perturbação.

História[editar | editar código-fonte]

O primeiro uso da equação de Fokker-Planck foi a descrição estatística do movimento browniano de uma partícula no seio de um fluido. O movimento browniano segue a equação de Langevin, que pode ser resolvida para diferentes perturbações estocásticas, mediante resultados médio. Entretanto, como alternativa a este procedimento, pode-se usar a equação de Fokker-Planck e considerar uma densidade de probabilidade da posição e do tempo,

{\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)

. Esta distribuição de probabilidade dependente do tempo pode ainda depender de um conjunto de N macrovariáveis

\ x_{i}

, de tal maneira que o movimento browniano em questão pode ser representado por uma equação de Fokker-Planck da forma:

{\frac {\partial {\mathcal {P}}}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})\right]{\mathcal {P}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde:

D^{1}

é o termo de arraste, que é dado por um vetor.

D^{2}

é termo difusivo, que é dado por uma matriz.

Relação com as equações diferenciais estocásticas[editar | editar código-fonte]

A equação de Fokker–Planck pode ser usada para calcular a densidade de probabilidade associada a uma equação diferencial estocástica. Por exemplo, à equação diferencial de Itō:

\mathrm {d} \mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} t+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} \mathbf {W} _{t},

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde:

\mathbf {X} _{t}\in \mathbb {R} ^{N}

é o estado do sistema.

\mathbf {W} _{t}\in \mathbb {R} ^{M}

caracteriza um processo de Wiener padrão M-dimensional.

Se a distribuição inicial é dada por

\mathbf {X} _{0}\sim {\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,0)

, então a densidade de probabilidade

{\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)

do estado

\mathbf {X} _{t}

é dada pela equação de Fokker–Planck com o termo de arraste e o termo de difusão dado por:

D_{i}^{1}(\mathbf {x} ,t)=\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\qquad D_{ij}^{2}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{kj}^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} ,t).

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um processo de Wiener escalar gerado pela equação diferencial estocástica:

\ \mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}.

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que tem um termo de arraste nulo, um termo e uma matriz de difusão dada pelo coeficiente 1/2, tem uma densidade de probabilidade dada pela seguinte equação de Fokker-Planck:

{\frac {\partial {\mathcal {P}}(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {P}}(x,t)}{\partial x^{2}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

que resulta ser precisamente a forma mais sensível possível da lei de Fick para a difusão.

Considerações computacionais[editar | editar código-fonte]

Movimento Browniano seege a equação de Langevin, a qual pode ser resolvida para muitas esforços estocásticos com os resultados sendo a média (o método de Monte Carlo, conjunto canônico em dinâmica molecular). Entretanto, ao invés da abordagem de computação intensiva, pode-se usar a equação de Fokker–Planck e considerar a probabilidade

{\mathcal {P}}(\mathbf {v} ,t)d\mathbf {v}

da partícula tendo uma velocidade no intervalo

(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )

quando ele inicia seu movimento com

\mathbf {v} _{0}

no tempo 0.

Solução[editar | editar código-fonte]

Sendo uma equação diferencial parcial, a equação de Fokker–Planck pode ser resolvida analiticamente somente em casos especiais. Uma analogia formal da equação Fokker–Planck com a equação de Schrödinger permite o uso de técnicas avançadas de operador conhecidas da mecânica quântica para sua solução em um número de casos. Em muitas aplicações, tem-se somente interesse na distribuição de probabilidade do estado estacionário

{\mathcal {P}}_{0}(x)

, o qual pode ser encontrado de

{\dot {\mathcal {P}}}_{0}(x)=0

. O cálculo das médias dos tempos de primeira passagem e as probabilidades de separação podem ser reduzidas para a solução de uma equação diferencial ordinária que está intimamente relacionada com a equação de Fokker-Planck.

Casos particulares com solução e inversão conhecidas[editar | editar código-fonte]

Em matemática financeira para a modelagem do "sorriso da volatilidade" de opções via a volatilidade local, tem-se o problema de obter um coeficiente de difusão

{\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)

consistentente com uma densidade de probabilidade obtida das quotas opção do mercado. O problema é portanto, uma inversão da equação de Fokker Planck: Dada a densidade P(x,t) da opção subjacente a X deduzida da opção de mercado, objetiva-se encontrar a volatilidade local

{\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)

consistentente com P. Isto é um problema inverso que foi solucionado de maneira genérica por Dupire (1994, 1997) com uma solução não paramétrica. Brigo e Mercurio (2002, 2003) propuseram uma solução na forma paramétrica via uma volatilidade local particular

{\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)

consistentente com uma solução da equação de Fokker–Planck dada por uma mistura de distribuição. Mais informação está disponível também em Fengler (2008), Gatheral (2008) e Musiela e Rutkowski (2008).

Equação de Fokker–Planck e integração funcional[editar | editar código-fonte]

Cada equação de Fokker–Planck é equivalente a uma integração funcional. A formulação de integração funcional é um excelente ponto de partida para a aplicação de métodos de teoria de campos.^[5] É usada, por exemplo, em dinâmica crítica.

Uma derivação da integração funcional é possível da mesma maneira em mecânica quântica, simplesmente porque a equação de Fokker–Planck é formalmente equivalente à equação de Schrödinger. Aqui estão etapas para a equação de Fokker–Planck (FP) com uma variável x.

Escreva a equação FP na forma

\partial _{t}\,{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left(\left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right).

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Integre sobre um intervalo de tempo

\varepsilon

{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right).

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

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P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

Inserindo a integral de Fourier

\delta \left(x^{\prime }-x\right)=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}\left(x-x^{\prime }\right)}

para a função

\delta

{\begin{aligned}{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)\right]\right)e^{{\tilde {x}}\left(x-x^{\prime }\right)}{\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {\left(x^{\prime }-x\right)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)\right]\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

Esta equação expressa

{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)

como funcional de

{\mathcal {P}}\left(x,t\right)

. Por meio de interações em

\left(t^{\prime }-t\right)/\varepsilon

vezes e obtendo o limite

\varepsilon \longrightarrow 0

resulta a integração funcional com Lagrangiano

L=\int dt\left[{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

As variáveis

{\tilde {x}}

conjugadas a

x

são chamadas "variáveis resposta".^[6]

Embora formalmente equivalentes, problemas diferentes podem ser resolvidos mais facilmente na equação de Fokker–Planck ou a formulação de integração funcional. A distribuição de equilíbrio por exemplo pode ser obtida mais diretamente da equação de Fokker–Planck.

RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM Equação de Fokker–Planck

segunda-feira, 3 de fevereiro de 2020

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

História[editar | editar código-fonte]

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

Relação com as equações diferenciais estocásticas[editar | editar código-fonte]

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

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Exemplos[editar | editar código-fonte]

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

Considerações computacionais[editar | editar código-fonte]

Solução[editar | editar código-fonte]

Casos particulares com solução e inversão conhecidas[editar | editar código-fonte]

Equação de Fokker–Planck e integração funcional[editar | editar código-fonte]

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FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =